Urodził się w Warszawie, w zasymilowanej rodzinie żydowskiej. Jego ojciec, Jakub, zajmował się publicystyką pedagogiczną (był autorem m.in. napisanych po polsku wypisów ze Starego Testamentu dla młodzieży wyznania mojżeszowego).
H. Elzenberg ukończył prawo w Szkole Głównej Warszawskiej, a następnie, podobnie jak wielu innych jej studentów (m.in. Aleksander Głowacki – Bolesław Prus) stał się jednym z „młodych”, czyli pozytywistów. Współpracowała z „Przeglądem Tygodniowym” i „Opiekunem domowym”, był współzałożycielem „Niwy”. Prowadził także praktykę prawniczą.
W 1882 r. przeprowadził się z Warszawy do Łodzi.
H. Elzenberg był głęboko przekonany, że Żydzi powinni uważać się za część społeczeństwa polskiego i przejmować kulturę polską. W korespondencji z Elizą Orzeszkową (z którą się przyjaźnił) wyjaśniał, że jego przeprowadzka z Warszawy do Łodzi była związana również ze stopniem zaawansowania procesów polonizacyjnych w obu tych miastach. H. Elzenberg uznał, że zachęcanie mniejszości do asymilacji jest jego ważną misją oraz, że pod tym względem niewiele pozostaje do zrobienia w Warszawie. Dziennikarz szerzący idee integracyjne potrzebny jest natomiast w Łodzi. Pracując jako radca prawny dla słynnych łódzkich przemysłowców pochodzenia niemieckiego, Scheiblerów, zachęcił ich do finansowania „Dziennika Łódzkiego”. Gazeta ta propagowała idee asymilacji ze społeczeństwem polskim w niemiecko-żydowskiej społeczności Lodzermenschów.
Był dwukrotnie żonaty, z Marią Olędzką (1852-1888), a po jej śmierci z Jadwigą Zlasnowską (1869-1941). Z pierwszą żoną miał syna Henryka Józefa Marię.
W latach 90. wycofał się z aktywnej publicystyki, rozszerzył natomiast praktykę adwokacką. Zmarł w czasie kuracji w Nauheim, w Niemczech.
Instytut Badań Literackich PAN
Listy do Henryka Elzenberga 1885-1887/ Orzeszkowa, Archiwum Elizy Orzeszkowej, sygn. 545
„Tygodnik Ilustrowany” 1899, nr 38
J. Elzenberg, Powieści z Pisma Świętego dla młodzieży wyznania mojżeszowego, Warszawa 1884
Gostkowski, Z., Dziennik Łódzki w latach 1884-1892 : studium nad powstawaniem polskiej opinii publicznej w wielonarodowym mieście fabrycznym, Łódź 1963/ 2008